📐 Questões de Matemática do ITA

Sejam x e y dois números reais tais que e^x, e^y e o quociente \frac{e^x - 2\sqrt{5}}{4 - e^y\sqrt{5}} são todos racionais. A soma x + y é igual a

Seja Q(z) um polinômio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos números complexos, cujo coeficiente de z^5 é igual a 1. Sendo z^3 + z^2 + z + 1 …

Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio 9x^2 - 63x + c, numa diferença de dois cubos (x + a)^3 - (x + b)^3. Neste caso, |\, …

Sobre a equação na variável real x, \big|\,\big|\,|x - 1| - 3\,\big| - 2\,\big| = 0, podemos afirmar que

Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismo…

Seja x um número real no intervalo 0 < x < \pi/2. Assinale a opção que indica o comprimento do menor intervalo que contém todas as soluções da desigu…

Assinale a opção que indica a soma dos elementos de A \cup B, sendo: A = \left\{xk = \operatorname{sen}^2\left(\frac{k^2\pi}{24}\right) : k = 1, 2\ri…

Sejam A = (a{jk}) e B = (b{jk}), duas matrizes quadradas n \times n, onde a{jk} e b{jk} são, respectivamente, os elementos da linha j e coluna k das …

Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e x = -2y + 10. A área desse triângulo mede

Sejam A : (a, 0), B : (0, a) e C : (a, a), pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equaçã…

Seja Pn um polígono regular de n lados, com n 2. Denote por an o apótema e por bn o comprimento de um lado de Pn. O valor de n para o qual valem as d…

Sejam P1 e P2 octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de raio R. Sendo A1 a área de P1 e A2 a áre…

Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede \sqrt{3}\ cm. Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, obtend…

Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de números reais tais que \begin{aligned} A \cup B \cup C &= \{x \in \mathbb{R} : x^2 + x \geq 2\}, …

Determine o conjunto A formado por todos os números complexos z tais que \frac{\overline{z}}{z - 2i} + \frac{2z}{\overline{z} + 2i} = 3 \quad \text{e…

Seja k um número inteiro positivo e Ak = \{\, j \in \mathbb{N} : j \leq k \text{ e } \mathrm{mdc}(j, k) = 1 \,\}. Verifique se n(A3), n(A9), n(A{27})…

Considere a equação: \sqrt{x^2 - p} + 2\sqrt{x^2 - 1} = x. a) Para que valores do parâmetro real p a equação admite raízes reais? b) Determine todas …

Sendo x, y, z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema \begin{aligned} \log\left[(x + 2y)(w - 3z)^{-1}\right] &= 0, \\ 2^{x+3z} - 8 …

Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poder…

Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em B. Sobre o lado \overline{BC}, considere, a partir de B, os pontos D e E, tais que os comprimentos…

Considere, no plano cartesiano xy, duas circunferências C1 e C2, que se tangenciam exteriormente em P : (5, 10). O ponto Q : (10, 12) é o centro de C…

Seja C1 uma circunferência de raio R1 inscrita num triângulo equilátero de altura h. Seja C2 uma segunda circunferência, de raio R2, que tangencia do…

Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume 8/3 cm³, encontram-se nos vértices de um cubo. Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de 1…

Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos \overline{EA} e \overline{ED} interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, …

Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n \geq 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: Se A, B \in S, então A \subset B ou…

Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(B \setminus A), n(A \setminus B) e n(A \cap B) formam, nesta ordem, uma progressã…

Seja f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x) = \sqrt{77}\, \operatorname{sen}[5\,(x + \pi/6)] e seja B o conjunto dado por B = \{x \in \mathb…

Considere a equação (a^x - a^{-x})/(a^x + a^{-x}) = m, na variável real x, com 0 < a \neq 1. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta e…

Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa corre…

Considere as seguintes afirmações sobre a expressão S = \sum{k=0}^{101} \log8\left(4^k \sqrt{2}\right): I. S é a soma dos termos de uma progressão ge…