📐 Questões de Matemática do ITA

Considere o polinômio p(x) = a5 x^5 + a4 x^4 + a3 x^3 + a2 x^2 - a1, em que uma das raízes é x = -1. Sabendo-se que a1, a2, a3, a4 e a5 são reais e f…

Sobre a equação polinomial 2x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 1 = 0, sabemos que os coeficientes a, b, c são reais, duas de suas raízes são inteiras e distint…

É dada a equação polinomial (a + c + 2) x^3 + (b + 3c + 1) x^2 + (c - a) x + (a + b + 4) = 0 com a, b, c reais. Sabendo-se que esta equação é recípro…

Sendo [-\pi/2, \pi/2] o contradomínio da função arcoseno e [0, \pi] o contradomínio da função arcocosseno, assinale o valor de \cos \left( \arcsen \f…

Dada a cônica \lambda : x^2 - y^2 = 1, qual das retas abaixo é perpendicular à \lambda no ponto P = (2, \sqrt{3})?

O conjunto imagem e o período de f(x) = 2 \sen^2 (3x) + \sen(6x) - 1 são, respectivamente,

Para x \in \mathbb{R}, o conjunto solução de |5^{3x} - 5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x| = |5^x - 1| é

Um subconjunto D de \mathbb{R} tal que a função f: D \to \mathbb{R}, definida por f(x) = |\ln (x^2 - x + 1)| é injetora, é dado por

A soma de todas as soluções distintas da equação \cos 3x + 2 \cos 6x + \cos 9x = 0, que estão no intervalo 0 \leq x \leq \pi/2, é igual a

Considere o conjunto D = \{n \in \mathbb{N}; 1 \leq n \leq 365\} e H \subset P(D) formado por todos os subconjuntos de D com 2 elementos. Escolhendo …

Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, B\hat{A}C, mede 40°. Sobre o lado \overline{AB}, tome o ponto E tal que A\ha…

Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de \mathbb{N} tais que (X - Y) \cap Z = \{1, 2, 3, 4\}, Y = \{5, 6\}, Z \cap Y = \emptyset, W \cap (X - Z) = \{7, 8\}, …

Sejam r e s duas retas paralelas distando 10 cm entre si. Seja P um ponto no plano definido por r e s e exterior à região limitada por estas retas, d…

Dado o conjunto A = \left\{x \in \mathbb{R};\ \sqrt{3x^2 + 2x} < x^2\right\}, expresse-o como união de intervalos da reta real.

Determine as raízes em \mathbb{C} de 4z^6 + 256 = 0, na forma a + bi, com a, b \in \mathbb{R}, que pertençam a S = \{z \in \mathbb{C};\ 1 < |z + 2| <…

Seja f(x) = \ln\left(x^2 + x + 1\right), x \in \mathbb{R}. Determine as funções h, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} tais que f(x) = g(x) + h(x), \forall…

Sejam \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}. Considere o polinômio p(x) dado por x^5 - 9x^4 + (\alpha - \beta - 2\gamma)\,x^3 + (\alpha + 2\beta + 2\g…

Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e A^{-1} = A^t. Determine todas as matrizes 2 \times 2 que são simétricas e ortogonais, expr…

Determine todos os valores \alpha \in \left]\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[ tais que a equação (em x) x^4 - 2\sqrt[4]{3}\,x^2 + \operatorname{…

Em um espaço amostral com uma probabilidade P, são dados os eventos A, B e C tais que: P(A) = P(B) = 1/2, com A e B independentes, P(A \cap B \cap C)…

Um triângulo acutângulo de vértices A, B e C está inscrito numa circunferência de raio \dfrac{5\sqrt{2}}{3}. Sabe-se que \overline{AB} mede 2\sqrt{5}…

Seja C uma circunferência de raio r e centro O e \overline{AB} um diâmetro de C. Considere o triângulo equilátero BDE inscrito em C. Traça-se a reta …

Considere a parábola de equação y = ax^2 + bx + c, que passa pelos pontos (2, 5), (-1, 2) e tal que a, b, c formam, nesta ordem, uma progressão aritm…

Se A, B, C forem conjuntos tais que n(A \cup B) = 23, \quad n(B - A) = 12, \quad n(C - A) = 10, n(B \cap C) = 6 \ \text{ e } \ n(A \cap B \cap C) = 4…

Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual …

Considere a equação: 16\left(\frac{1 - ix}{1 + ix}\right)^3 = \left(\frac{1 + i}{1 - i} - \frac{1 - i}{1 + i}\right)^4. Sendo x um número real, a som…

Assinale a opção que indica o módulo do número complexo \frac{1}{1 + i \operatorname{cotg} x}, \quad x \neq k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.

Considere: um retângulo cujos lados medem B e H, um triângulo isósceles em que a base e a altura medem, respectivamente, B e H, e o círculo inscrito …

Se as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo estão em progressão geométrica de razão r, então r pertence ao intervalo

Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo \logk(xy) = 49, \logk(x/z) = 44. Ent…