📐 Questões de Matemática do ITA

Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x^4 + x^2 + ax + b = 0, com a, b \in \mathbb{R}, então a^2 - b^3 é igual a

O produto das raízes reais da equação |x^2 - 3x + 2| = |2x - 3| é igual a

Considere a equação algébrica \sum{k=1}^{3}(x - ak)^{4-k} = 0. Sabendo que x = 0 é uma das raízes e que (a1, a2, a3) é uma progressão geométrica com …

A expressão 4e^{2x} + 9e^{2y} - 16e^x - 54e^y + 61 = 0, com x e y reais, representa

Com respeito à equação polinomial 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2 = 0 é correto afirmar que

Sejam m e n inteiros tais que \frac{m}{n} = -\frac{2}{3} e a equação 36x^2 + 36y^2 + mx + ny - 23 = 0 representa uma circunferência de raio r = 1\,cm…

Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja medida, em rad…

Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos \overline{AB} e \overline{BC} medem 8\,cm e 6\,cm, respectivamente. Se D é um ponto sobre \overline{AB}…

Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre \overline{AB}. Considere as áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas …

Num triângulo ABC o lado \overline{AB} mede 2 cm, a altura relativa ao lado \overline{AB} mede 1 cm, o ângulo A\hat{B}C mede 135^0 e M é o ponto médi…

Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se ainda que \overline{AB} é o diâmetro, \overline{BC} mede 6 cm e a bissetriz …

Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da base mede \frac{10}{3}\sqrt{3} cm. Então o raio da es…

Considere as afirmações: I - Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida a = 120^0. II - Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem…

Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não-vazios, tais que (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = A.

Sejam n \geq 3 ímpar, z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} e z1, z2, ..., zn as raízes de z^n = 1. Calcule o número de valores |zi - zj|, i, j = 1, 2, ..…

Sobre uma mesa estão dispostos 5 livros de história, 4 de biologia e 2 de espanhol. Determine a probabilidade de os livros serem empilhados sobre a m…

Resolva a inequação em \mathbb{R}: 16 < \left(\dfrac{1}{4}\right)^{\log{\frac{1}{5}}(x^2 - x + 19)}.

Determine todas as matrizes M \in \mathbb{M}{2 \times 2}(\mathbb{R}) tais que MN = NM, \forall N \in \mathbb{M}{2 \times 2}(\mathbb{R}).

Determine todos os valores de m \in \mathbb{R} tais que a equação (2 - m)x^2 + 2mx + m + 2 = 0 tenha duas raízes reais distintas e maiores que zero.

Considere uma esfera \Omega com centro em C e raio r = 6\,cm e um plano \Sigma que dista 2\,cm de C. Determine a área da intersecção do plano \Sigma …

a) Calcule \left(\cos^2 \dfrac{\pi}{5} - \operatorname{sen}^2 \dfrac{\pi}{5}\right) \cos \dfrac{\pi}{10} - 2 \operatorname{sen} \dfrac{\pi}{5} \cos \…

Num triângulo AOB o ângulo A\hat{O}B mede 135^0 e os lados \overline{AB} e \overline{OB} medem \sqrt{2}\,cm e \sqrt{2 - \sqrt{3}}\,cm, respectivament…

Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 2\sqrt{3}\,cm. No interior deste triângulo existem 4 círculos de mesmo raio r. O centro de um dos cí…

Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I. A negação de x \in A \cap B é: x \notin A ou x \notin B. II. A \cap (B \c…

Considere conjuntos A, B \subset \mathbb{R} e C \subset (A\cup B). Se A\cup B, A\cap C e B\cap C são os domínios das funções reais definidas por \ln(…

Se z é uma solução da equação em \mathbb{C}, z - \overline{z} + |z|^2 = - \left[\left(\sqrt{2} + i\right) \left(\frac{\sqrt{2} - 1}{3} - i \frac{\sqr…

Os argumentos principais das soluções da equação em z, iz + 3\overline{z} + (z + \overline{z})^2 - i = 0, pertencem a

Considere a progressão aritmética (a1, a2, ..., a{50}) de razão d. Se \sum{n=1}^{10} an = 10 + 25d e \sum{n=1}^{50} an = 4550, então d - a1 é igual a

Sejam f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações: I. f \cdot g é ímpar, II. f \circ g é par, III. g \cir…

A equação em x, \operatorname{arctg}(e^x + 2) - \operatorname{arccotg}\left(\frac{e^x}{e^{2x} - 1}\right) = \frac{\pi}{4}, \quad x \in \mathbb{R}\bac…