📐 Questões de Matemática do ITA

Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em uma semi-esfera formam uma progres…

Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200^\circ. O número de vértices deste prisma é igual a

Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular são dados por A = (0, 0), B = (2, 2) e C = (1 -…

No desenvolvimento de (ax^2 - 2bx + c + 1)^5 obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e -1 são raízes de p(x), então a soma a + b…

O menor inteiro positivo n para o qual a diferença \sqrt{n} - \sqrt{n-1} fica menor que 0{,}01 é

Seja D = \mathbb{R} \setminus \{1\} e f : D \to D uma função dada por f(x) = \frac{x + 1}{x - 1}\,. Considere as afirmações: I. f é injetiva e sobrej…

O número complexo 2 + i é raiz do polinômio f(x) = x^4 + x^3 + px^2 + x + q\,, com p, q \in \mathbb{R}. Então, a alternativa que mais se aproxima da …

Considere a equação em x a^{x+1} = b^{1/x}\,, onde a e b são números reais positivos, tais que \ln b = 2 \ln a 0. A soma das soluções da equação é

O intervalo I \subset \mathbb{R} que contém todas as soluções da inequação \arctan\frac{1 + x}{2} + \arctan\frac{1 - x}{2} \geq \frac{\pi}{6} é

Seja z \in \mathbb{C} com |z| = 1. Então, a expressão \left|\dfrac{1 - \bar{z}w}{z - w}\right| assume valor

O sistema linear \begin{cases} bx + y = 1 \\ by + z = 1 \\ x + bz = 1 \end{cases} não admite solução se e somente se o número real b for igual a

Retiram-se 3 bolas de uma urna que contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas brancas. Se P1 é a probabilidade de não sair bola azul e P2 é a pro…

A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos (1, 0) e (0, -2) são, respectivamente,

Seja a1, a2, \ldots uma progressão aritmética infinita tal que \sum{k=1}^{n} a{3k} = n\sqrt{2} + \pi n^2 \,, \quad \text{para } n \in \mathbb{N}^. De…

Seja C a circunferência de centro na origem, passando pelo ponto P = (3, 4). Se t é a reta tangente a C por P, determine a circunferência C' de menor…

Sejam A e B matrizes 2{\times}2 tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial A^2 + 2AB - B = 0. Se B é inversível, mostre que a) AB^{-1} = B…

Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de n - 1 ângulos (internos) do polígono é 2004^\circ, determine o número n de lados do pol…

a) Mostre que o número real \alpha = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} é raíz da equação x^3 + 3x - 4 = 0. b) Conclua de (a) que \alpha…

Considere a equação em x \in \mathbb{R} \sqrt{1 + mx} = x + \sqrt{1 - mx} \quad , sendo m um parâmetro real. a) Resolva a equação em função do parâme…

Um dos catetos de um triângulo retângulo mede \sqrt[3]{2} cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é \pi cm^…

São dados dois cartões, sendo que um deles tem ambos os lados na cor vermelha, enquanto o outro tem um lado na cor vermelha e o outro lado na cor azu…

Obtenha todos os pares (x, y), com x, y \in [0, 2\pi], tais que \begin{aligned} \operatorname{sen}(x + y) + \operatorname{sen}(x - y) &= \frac{1}{2} …

Determine todos os valores reais de a para os quais a equação (x - 1)^2 = |x - a| admita exatamente três soluções distintas.

Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}: I. \varnothing \in U e n(U) = 10. II. \varnothing \subset U …

Seja o conjunto S = \{ r \in \mathbb{Q} : r \geq 0 \text{ e } r^2 \leq 2 \}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: I. \frac{5}{4} \in S e …

Seja \alpha um número real, com 0 < \alpha < 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x tais que \alpha^{2x} \left(…

Considere a função f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}, f(x) = 2\cos x + 2i\,\text{sen}\,x. Então, \forall\, x, y \in \mathbb{R}, o valor do produt…

Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos.…

Seja x \in \mathbb{R} e a matriz A = \begin{bmatrix} 2^x & (x^2+1)^{-1} \\ 2^x & \log2 5 \end{bmatrix}. Assinale a opção correta.

Considerando as funções \text{arc sen} : [-1, +1] \rightarrow [-\pi/2,\ \pi/2] \quad \text{e} \quad \text{arc cos} : [-1, +1] \rightarrow [0,\ \pi], …