📐 Questões de Matemática do ITA

Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5^\circ…

O termo independente de x no desenvolvimento do binômio \left( \sqrt{\frac{3\sqrt[3]{x}}{5x}} - \sqrt[3]{\frac{5x}{3\sqrt{x}}} \right)^{12} é

Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n \times n, n \geq 2: I. O determinante de A é nulo se e somente se A possui u…

Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360\pi\ \mathrm{cm^3}, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cil…

O conjunto de todos os valores de \alpha, \alpha \in \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[, tais que as soluções da equação (em x) x^4 - \sqrt…

Sejam as funções f e g definidas em \mathbb{R} por f(x) = x^2 + \alpha x e g(x) = -(x^2 + \beta x), em que \alpha e \beta são números reais. Consider…

Considere todos os números z = x + iy que têm módulo \sqrt{7}/2 e estão na elipse x^2 + 4y^2 = 4. Então, o produto deles é igual a

Para algum número real r, o polinômio 8x^3 - 4x^2 - 42x + 45 é divisível por (x - r)^2. Qual dos números abaixo está mais próximo de r?

Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação \det \begin{bmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ …

A soma das raízes da equação z^3 + z^2 - |z|^2 + 2z = 0, z \in \mathbb{C}, é igual a

Dada a equação x^3 + (m+1)x^2 + (m+9)x + 9 = 0, em que m é uma constante real, considere as seguintes afirmações: I. Se m \in \left] -6, 6 \right[, e…

Duas circunferências concêntricas C1 e C2 têm raios de 6\ \mathrm{cm} e 6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}, respectivamente. Seja \overline{AB} uma corda de C2, …

A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R\ \mathrm{cm}, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro i…

Seja A um conjunto não-vazio. a) Se n(A) = m, calcule n(\mathcal{P}(A)) em termos de m. b) Denotando \mathcal{P}^1(A) = \mathcal{P}(A) e \mathcal{P}^…

Uma caixa branca contém 5 bolas verdes e 3 azuis, e uma caixa preta contém 3 bolas verdes e 2 azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. …

Determine os valores reais do parâmetro a para os quais existe um número real x satisfazendo \sqrt{1 - x^2} \geq a - x.

Sendo z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}, calcule \left|\displaystyle\sum{n=1}^{60} z^n\right| = \left|z + z^2 + z^3 + \ldots + z^{60}\right|.

Para b 1 e x 0, resolva a equação em x: (2x)^{\logb 2} - (3x)^{\logb 3} = 0.

Considere a equação x^3 + 3x^2 - 2x + d = 0, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0, 1[ ?

Prove que, se os ângulos internos \alpha, \beta e \gamma de um triângulo satisfazem a equação \operatorname{sen}(3\alpha) + \operatorname{sen}(3\beta…

Se A é uma matriz real, considere as definições: I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só se A for inversível e A^{-1} = A^T. II. Uma matriz quad…

Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um ângulo de 60^\circ. Seja C1 uma circunferência de 3 cm de raio, cujo centro O se situa em s, a 5…

Sejam os pontos A: (2, 0), B: (4, 0) e P: (3,\, 5 + 2\sqrt{2}). a) Determine a equação da circunferência C, cujo centro está situado no primeiro quad…

Seja z \in \mathbb{C}. Das seguintes afirmações independentes: I. Se \omega = \dfrac{2iz^2 + 5\overline{z} - i}{1 + 3\overline{z}^2 + 2iz + 3|z|^2 + …

O valor de y^2 - xz para o qual os números \operatorname{sen} \dfrac{\pi}{12}; x; y; z e \operatorname{sen} 75^\circ, nesta ordem, formam uma progres…

Considere a função f : \mathbb{Z} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \; ; \quad f(x) = \sqrt{3^{x-2}}\,\left(9^{2x+1}\right)^{1/(2x)} - \left(3^{2x+5}\ri…

Considere uma função f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} não-constante e tal que f(x + y) = f(x)f(y) \; ; \quad \forall\, x, y \in \mathbb{R}. Das afirmaçõ…

Considere o polinômio P(x) = 2x + a2x^2 + \cdots + anx^n, cujos coeficientes 2, a2, \ldots, an formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razã…

Dividindo-se o polinômio P(x) = x^5 + ax^4 + bx^2 + cx + 1 por (x - 1), obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtém-se resto igual…

Das afirmações abaixo sobre a equação z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0 e suas soluções no plano complexo: I. A equação possui pelo menos um par de raízes …