ITA 2003 — Questão 1

Seja $z \in \mathbb{C}$. Das seguintes afirmações independentes:

I. Se $\omega = \dfrac{2iz^2 + 5\overline{z} - i}{1 + 3\overline{z}^2 + 2iz + 3|z|^2 + 2|z|}$, então $\overline{\omega} = \dfrac{-2i\overline{z}^2 + 5z + i}{1 + 3z^2 - 2i\overline{z} + 3|\overline{z}|^2 + 2|z|}$.

II. Se $z \neq 0$ e $\omega = \dfrac{2iz + 3i + 3}{(1 + 2i)z}$, então $|\omega| \leq \dfrac{2|z| + 3\sqrt{2}}{\sqrt{5}\,|z|}$.

III. Se $\omega = \dfrac{(1 + i)z^2}{4\sqrt{3} + 4i}$, então $2 \arg z + \dfrac{\pi}{12}$ é um argumento de $\omega$.

é (são) verdadeira(s):