📐 Questões de Matemática do ITA

Quatro esferas idênticas, dispostas tangentes duas a duas, estão simultaneamente inscritas em uma única esfera maior, de modo que os centros das esfe…

Uma circunferência é dividida em seis partes iguais pelos pontos A, B, C, D, E, F, designados nessa ordem. Os pontos A,\ C,\ E são vértices de um tri…

Dados os números reais \alpha1,\ \alpha2,\ \cdots, \alpha{n-1}, defina as matrizes A = (a{ij}) e B = (b{ij}), ambas de ordem n \times n, por a{ij} = …

Considere as matrizes A = \begin{bmatrix} \sqrt{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} \sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 \end…

Seja p(x) um polinômio de grau quatro com coeficientes reais. A soma das raízes de p(x) é \dfrac{3}{2}, e o seu produto é -\dfrac{5}{2}. Determine to…

Seja p(x) = x^3 + bx^2 + cx + d um polinômio com coeficientes reais. Se todas as raízes de p(x) são reais e, para todo x \in \mathbb{R}, p(2 + x) = -…

Quantas sequências estritamente crescentes de três números naturais é possível construir de forma que a soma dos três números é igual a 100?

Considere a reta r:\ 3x + 4y = -15 e a parábola P:\ y = x^2 + x + 6 com vértice V. Seja t a reta tangente a P, que tem coeficiente angular negativo e…

Seja H a hipérbole com focos A = (-6, 0), B = (6, 0) e excentricidade 3. a) Determine as equações de todas as retas que passam por C = (0, -8) e são …

Sejam x,\ y \in\, ]0, \pi/2[, satisfazendo o sistema de equações \begin{cases} \tan(y)\tan\left(\dfrac{y}{2}\right) = \cos(2x)\sec(y), \\[2ex] \dfrac…

Os pontos A e B definem um segmento com m(\overline{AB}) = 6(1 + \sqrt{3})\ cm. Os pontos C e D estão no segmento \overline{AB}. A circunferência de …

Seja A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}. A quantidade de bijeções F: A \longrightarrow A que satisfazem F(1) < F(5) < F(3) e F(7) < F(2) é

Considere m \in \mathbb{R} positivo. A sequência rk é uma progressão geométrica crescente de termos positivos de razão q e termo inicial r1 = q. As c…

Encontre os valores reais a e b tais que o polinômio p(x) = x^{57} + ax^{14} + bx^{7} + 1, ao ser dividido por x^2 - x + 1, deixe resto 2x + 1.

Seja z = a + 2i um número complexo, em que a \in \mathbb{R} é positivo. O valor de a para que as representações de 1, z e z^2 no plano de Argand-Gaus…

Seja E uma elipse com eixo focal no eixo Ox do sistema de coordenadas cartesiano. O centro de E é o ponto (r, 0), com r 0, sua excentricidade é \dfra…

Considere as afirmações: I. Existe um poliedro formado por 3 faces triangulares e as demais faces quadrangulares. II. Existe um poliedro não convexo …

O termo independente da expansão de \left(x + \frac{1}{x}\right)^6 \left(x - \frac{2}{x}\right)^5 é

Sejam \alpha, \beta \in \left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] tais que \operatorname{sen}(\alpha) - \operatorname{sen}(\beta) = \frac{1}{4} \q…

Seja ABC um triângulo de lados m(\overline{AB}) = 6, m(\overline{AC}) = 10 e m(\overline{BC}) = 14. Calcule o raio da circunferência externa ao triân…

Sejam f(x) e g(x) funções reais definidas para todo x \in \mathbb{R}. Se para todo x 0 vale a igualdade g(x^2) = f(2x^2 - x + 1), podemos afirmar que

Usando as aproximações \log{10} 2 = 0{,}3010, \log{10} 3 = 0{,}4771 e \log{10} 7 = 0{,}8450, determine o primeiro algarismo (da esquerda para a direi…

Sejam (an){n\in\mathbb{N}} e (bn){n\in\mathbb{N}} duas sequências numéricas tais que Sn = \sum{k=1}^{n} ak = b{n+1} - b1 \text{ para todo } n \in \ma…

O conjunto de todos os valores a \in \mathbb{R} para os quais a equação 9^x - (3a + 4)3^x + 2a^2 + 9a - 5 = 0 tem duas soluções reais distintas é

Uma moeda não viciada é lançada n vezes. Encontre os valores de n que maximizam a probabilidade de sair cara pela quarta vez exatamente no enésimo la…

Considere o polinômio p(x) = x^3 + ax^2 + b. Determine os valores reais a e b, sabendo que: I. p(x) tem uma raiz real dupla; II. Os pontos (x1, 0), (…

Sejam m, n e k números reais. Considere os sistemas abaixo: I: \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 2 \\ 2x + y + 4z = 1 \end{cases} \quad \qu…

Seja Ak = (a{ij}) uma matriz quadrada de ordem k, em que a{ij} = \max\{i, j\} para todo i, j em \{1, 2, \cdots, k\}. Determine \displaystyle\sum{k=1}…

Considere a função f(x) = \sqrt{\frac{2\sin(2x) + 2\sin(x) - 2\cos(x) - 1}{8(\cos(2x) + 1)}} Seja I = (a, b) o intervalo de maior comprimento contido…

Determine a quantidade de matrizes 5 \times 5 invertíveis e com entradas inteiras que satisfazem a propriedade A^{-1} = A^T.