📐 Questões de Matemática do ITA

Considere o polinômio p dado por p(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 16, com a, b \in \mathbb{R}. Sabendo-se que p admite raiz dupla e que 2 é uma raiz de p, e…

Seja p o polinômio dado por p(x) = \sum{j=0}^{15} aj x^j, com aj \in \mathbb{R}, j = 0, 1, \ldots, 15, e a{15} \neq 0. Sabendo-se que i é uma raiz de…

Considere todos os triângulos retângulos com os lados medindo \sqrt{a}, 2\sqrt{a} e a. Dentre esses triângulos, o de maior hipotenusa tem seu menor â…

Os valores de x \in [0, 2\pi] que satisfazem a equação 2 \sen x - \cos x = 1 são

Sejam \alpha e \beta números reais tais que \alpha, \beta, \alpha + \beta \in ]0, 2\pi[ e satisfazem as equações \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{4}{5…

Seja A = (a{ij}){5 \times 5} a matriz tal que a{ij} = 2^{i-1}(2j - 1), 1 \leq i, j \leq 5. Considere as afirmações a seguir: I. Os elementos de cada …

Considere a matriz M = (m{ij}){2\times 2} tal que m{ij} = j - i + 1, i, j = 1, 2. Sabendo-se que \det \left( \sum{k=1}^{n} M^k - n \begin{bmatrix} 1 …

Considere os pontos A = (0, -1), B = (0, 5) e a reta r : 2x - 3y + 6 = 0. Das afirmações a seguir: I. d(A, r) = d(B, r). II. B é simétrico de A em re…

Dados o ponto A = \left( 4, \frac{25}{6} \right) e a reta r : 3x + 4y - 12 = 0, considere o triângulo de vértices ABC, cuja base \overline{BC} está c…

Considere as afirmações a seguir: I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento \overline{AB}, com comprimento l fixado, cujos extremos se desl…

Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior \overline{AB} medindo 15, o lado \overline{AD} medindo 9 e o ângulo A\hat{D}B reto. A distância entre …

Num triângulo PQR, considere os pontos M e N pertencentes aos lados \overline{PQ} e \overline{PR}, respectivamente, tais que o segmento \overline{MN}…

Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x - y = 0. Sabendo-se que a potência do ponto O = (0, 0) em r…

Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista h do vértice do cone. Adicionando-se um volume idê…

Considere as funções f1,\ f2,\ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, sendo f1(x) = \frac{1}{2}|x| + 3, f2(x) = \frac{3}{2}|x + 1| e f(x) igual ao maior valo…

Considere o polinômio p dado por p(z) = 18z^3 + \beta z^2 - 7z - \beta, em que \beta é um número real. a) Determine todos os valores de \beta sabendo…

Sabe-se que 1, B, C, D e E são cinco números reais que satisfazem às propriedades: (i) B, C, D, E são dois a dois distintos; (ii) os números 1, B, C,…

Seja M \subset \mathbb{R} dado por M = \{|z^2 + az - 1| : z \in \mathbb{C} \text{ e } |z| = 1\}, com a \in \mathbb{R}. Determine o maior elemento de …

Seja S o conjunto de todos os polinômios de grau 4 que têm três dos seus coeficientes iguais a 2 e os outros dois iguais a 1. a) Determine o número d…

Três pessoas, aqui designadas por A, B e C, realizam o seguinte experimento: A recebe um cartão em branco e nele assinala o sinal + ou o sinal -, pas…

Seja n um inteiro positivo tal que \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2n} = \sqrt{\dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}}. a) Determine n. b) Determine \operatorname{sen…

Sejam \alpha e \beta números reais não nulos. Determine os valores de b, c, d, bem como a relação entre \alpha e \beta para que ambos os sistemas lin…

Sabe-se que a equação 3x^2 + 5xy - 2y^2 - 3x + 8y - 6 = 0 representa a reunião de duas retas concorrentes, r e s, formando um ângulo agudo \theta. De…

Na construção de um tetraedro, dobra-se uma folha retangular de papel, com lados de 3 cm e 4 cm, ao longo de uma de suas diagonais, de modo que essas…

Das afirmações: I. Se x, y \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, com y \neq -x, então x + y \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}; II. Se x \in \mathbb{…

Considere as funções f, g : \mathbb{Z} \to \mathbb{R}, f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n são constantes reais. Se A e B são as imagens…

A soma \sum{n=1}^{4} \frac{\log{1/2} \sqrt[n]{32}}{\log{1/2} 8^{n+2}} é igual a

Se z \in \mathbb{C}, então z^6 - 3|z|^4(z^2 - \overline{z}^2) - \overline{z}^6 é igual a

Sejam z, w \in \mathbb{C}. Das afirmações: I. |z + w|^2 + |z - w|^2 = 2(|z|^2 + |w|^2); II. (z + \overline{w})^2 - (z - \overline{w})^2 = 4z\overline…

Considere os polinômios em x \in \mathbb{R} da forma p(x) = x^5 + a3x^3 + a2x^2 + a1x. As raízes de p(x) = 0 constituem uma progressão aritmética de …