📐 Questões de Matemática do ITA

Considere o sistema de equações S \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{27}{y^2} + \frac{8}{z^3} = 3 \\ \frac{4}{x} + \frac{81}{y^2} + \frac{40}{z^3} = 1…

O número de soluções inteiras da inequação 0 \leq x^2 - |3x^2 + 8x| \leq 2 é

Sejam A = \{1, 2, 3, 4, 5\} e B = \{-1, -2, -3, -4, -5\}. Se C = \{xy : x \in A e y \in B\}, então o número de elementos de C é

Sejam S1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y \geq ||x| - 1|\} e S2 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + (y + 1)^2 \leq 25\}. A área da região S1 \cap S2 é

Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações: I. a^{(\logc b)} = b^{(\logc a)} II. \left(\frac{a}{b}\right)^{\logd c} \…

Sejam D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} e P = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix}. …

Considere dois círculos no primeiro quadrante: • C1 com centro (x1, y1), raio r1 e área \frac{\pi}{16}. • C2 com centro (x2, y2), raio r2 e área 144\…

Das afirmações: I. Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única, na forma 2^{k-1}(2m - 1), em que k e m são inteiros positivos. II…

Com os elementos 1, 2, \ldots, 10 são formadas todas as sequências (a1, a2, \ldots, a7). Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probab…

Considere a equação (a - bi)^{501} = \frac{2(a + bi)}{(a^2 + b^2)^{250} + 1}. O número de pares ordenados (a, b) \in \mathbb{R}^2 que satisfazem a eq…

Seja ABC um triângulo cujos lados AB, AC e BC medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente. Considere os pontos M e N sobre o lado BC tais que AM é a al…

Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um hexágono regular, conforme a figura abaixo. O …

O lugar geométrico dos pontos (a, b) \in \mathbb{R}^2 tais que a equação, em z \in \mathbb{C}, z^2 + z + 2 - (a + ib) = 0 possua uma raiz puramente i…

Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro deste encontra-se a 30m de distância; o segundo, a 40m; e o terceiro alvo, a 60m. Sabendo q…

Considere o triângulo ABC, em que os segmentos \overline{AC}, \overline{CB} e \overline{AB} medem, respectivamente, 10 cm, 15 cm e 20 cm. Seja D um p…

Considere as retas de equações r:\ y = \sqrt{2}x + a \qquad \text{e} \qquad s:\ y = bx + c, em que a, b, c são reais. Sabendo que r e s são perpendic…

Determine todos os valores reais de x que satisfazem a inequação 4^{3x-1} 3^{4x}.

Considere o polinômio p(x) = x^4 - (1 + 2\sqrt{3})x^3 + (3 + 2\sqrt{3})x^2 - (1 + 4\sqrt{3})x + 2. a) Determine os números reais a e b tais que p(x) …

Sejam A e B dois conjuntos com 3 e 5 elementos, respectivamente. Quantas funções sobrejetivas f : B \to A existem?

Sejam A = \{1, 2, \ldots, 29, 30\} o conjunto dos números inteiros de 1 a 30 e (a1,\, a2,\, a3) uma progressão geométrica crescente com elementos de …

Esboce o gráfico da função f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por f(x) = \left| 2^{-|x|} - \frac{1}{2} \right|.

Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear é impossível: \begin{cases} x + ay + z = 2 \\ -x - 2y + 3z = -1 \\ 3x +…

Um triângulo retângulo com hipotenusa c = 2(1 + \sqrt{6}) está circunscrito a um círculo de raio unitário. Determine a área total da superfície do co…

Determine o conjunto das soluções reais da equação 3\,\mathrm{cossec}^2\left(\dfrac{x}{2}\right) - \mathrm{tg}^2 x = 1.

Considere o cubo ABCDEFGH de aresta 2 tal que: ABCD é o quadrado da base inferior; EFGH, o quadrado da base superior e \overline{AE}, \overline{BF}, …

Considere as seguintes afirmações: I. A função f(x) = \log{10}\left(\frac{x-1}{x}\right) é estritamente crescente no intervalo ]1, +\infty[. II. A eq…

Se x é um número natural com 2015 dígitos, então o número de dígitos da parte inteira de \sqrt[7]{x} é igual a

Se \mathrm{tg}\,x = \sqrt{7} e x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}], então \mathrm{sen}\,3x é igual a

Seja (a1, a2, a3, \ldots) a sequência definida da seguinte forma: a1 = 1000 e an = \log{10}(1 + a{n-1}) para n \geq 2. Considere as afirmações a segu…

Seja Pn um polígono convexo regular de n lados, com n \geq 3. Considere as afirmações a seguir: I. Pn é inscritível numa circunferência. II. Pn é cir…