📐 Questões de Matemática do ITA

Considere funções f, g, f + g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}. Das afirmações: I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora; II. Se f e g são sobrejetoras…

Seja n 6 um inteiro positivo não divisível por 6. Se, na divisão de n^2 por 6, o quociente é um número ímpar, então o resto da divisão de n por 6 é

Considere a equação \sum{n=0}^{5} an x^n = 0 em que a soma das raízes é igual a -2 e os coeficientes a0, a1, a2, a3, a4 e a5 formam, nesta ordem, uma…

Seja \lambda solução real da equação \sqrt{\lambda + 9} + \sqrt{2\lambda + 17} = 12. Então a soma das soluções z, com \text{Re } z 0, da equação z^4 …

Seja p uma probabilidade sobre um espaço amostral finito \Omega. Se A e B são eventos de \Omega tais que p(A) = \frac{1}{2}, p(B) = \frac{1}{3} e p(A…

Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda: I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos. II. Ocorrência de três c…

Considere A \in M{5x5}(\mathbb{R}) com \det(A) = \sqrt{6} e \alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}. Se \det(\alpha A^t A A^t) = \sqrt{6}\alpha^2, o va…

Sejam a um número real e n o número de todas as soluções reais e distintas x \in [0, 2\pi] da equação \cos^8 x - \text{sen}^8 x + 4\text{sen}^6 x = a…

Se \cos 2x = \frac{1}{2}, então um possível valor de \frac{\cotg x - 1}{\cossec(x - \pi) - \sec(\pi - x)} é

Uma reta r tangencia uma circunferência num ponto B e intercepta uma reta s num ponto A exterior à circunferência. A reta s passa pelo centro desta c…

Sobre a parábola definida pela equação x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 pode-se afirmar que

Das afirmações: I. Duas retas coplanares são concorrentes; II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas; III. Dadas duas retas reversas, ex…

Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente, \sqrt{10},…

No sistema xOy os pontos A = (2, 0), B = (2, 5) e C = (0, 1) são vértices de um triângulo inscrito na base de um cilindro circular reto de altura 8. …

Para z = 1 + iy, y 0, determine todos os pares (a, y), a 1, tais que z^{10} = a. Escreva a e y em função de \operatorname{Arg} z.

Determine o maior domínio D \subset \mathbb{R} da função f : D \to \mathbb{R}\,,\ \ f(x) = \log{\,x(\frac{\pi}{4} - x)}(4\operatorname{sen} x \cos x …

Considere o polinômio P(m) = am^2 - 3m - 18, em que a \in \mathbb{R} é tal que a soma das raízes de P é igual a 3. Determine a raiz m de P tal que du…

Quantos tetraedros regulares de mesma dimensão podemos distinguir usando 4 cores distintas para pintar todas as suas faces? Cada face só pode ser pin…

Considere o sistema na variável real x: \begin{cases} x^2 - x = \alpha \\ x - x^3 = \beta. \end{cases} a) Determine os números reais \alpha e \beta p…

Considere o sistema nas variáveis reais x e y: \begin{cases} x\operatorname{sen}\alpha + 3\,y\cos\alpha = a \\ x\cos\alpha + y\operatorname{sen}\alph…

Encontre os pares (\alpha, \beta) \in \,]0, \frac{\pi}{2}[\, \times \,]0, \frac{\pi}{2}[ que satisfazem simultaneamente as equações (\operatorname{tg…

Determine a área da figura plana situada no primeiro quadrante e delimitada pelas curvas (y - x - 2)\left(y + \frac{x}{2} - 2\right) = 0 \quad \text{…

Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice C, dividem o ângulo B\hat{C}A em quatro ângulos igu…

Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D são, respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e H. A…

Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras em que a moeda de 25…

Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser atingi…

Sejam z = n^2(\cos 45° + i \sen 45°) e w = n(\cos 15° + i \sen 15°), em que n é o menor inteiro positivo tal que (1 + i)^n é real. Então, \frac{z}{w}…

Se \arg z = \frac{\pi}{4}, então um valor para \arg(-2iz) é

Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1 - r2 e r1 + r2 + r3 são racionais. Das afirmações: I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racio…

As raízes x1, x2 e x3 do polinômio p(x) = 16 + ax - (4 + \sqrt{2})x^2 + x^3 estão relacionadas pelas equações: x1 + 2x2 + \frac{x3}{2} = 2 e x1 - 2x2…