EsmerEntrar
Matemática

ITA 2027 Matemática — Questão 9

Para todo subconjunto S⊂{n∈N:1≤n≤60}S \subset \{n \in \mathbb{N} : 1 \leq n \leq 60\} com 99 elementos, considere as seguintes afirmações:

I. Existe um subconjunto de SS com 44 elementos cuja soma é menor ou igual a 220220.

II. Existe um subconjunto AA de SS, com A≠∅A \neq \emptyset e A≠SA \neq S, tal que a soma dos elementos de AA é igual à soma dos elementos de S∖AS \setminus A.

III. Existem subconjuntos AA e BB de SS, distintos e não vazios, tais que a soma dos elementos de AA é igual à soma dos elementos de BB.

É (São) VERDADEIRA(S):

👉 Tente resolver: clique na alternativa e confirme sua resposta.Rascunho de prova: ✕ elimina, ★ marca como provável (no celular, arraste a alternativa para o lado).

00:00
Só quero ver o gabarito

Gabarito oficial do ITA 2027 Matemática, questão 9: alternativa D

Apenas I e III.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você separa o que vale para TODO conjunto S (prova por cota ou por gavetas) do que basta um contraexemplo para derrubar.

Por onde começar · passo 1 de 5

Ataque a I pelo pior caso

Qual escolha de S torna os 4 menores elementos os maiores possíveis?

Basta olhar os 4 menores elementos de S, pois eles dão a menor soma de 4 elementos. Se s1<s2<⋯<s9s_1 < s_2 < \dots < s_9, então s4≤60−5=55s_4 \le 60 - 5 = 55, s3≤54s_3 \le 54, s2≤53s_2 \le 53, s1≤52s_1 \le 52. A soma deles é no máximo 52+53+54+55=214≤22052+53+54+55 = 214 \le 220. Vale para todo S.

A armadilha

A II parece consequência da III ("se há duas somas iguais, dá para dividir ao meio"), mas não: se a soma total de S for ímpar, nenhuma partição em duas metades de mesma soma existe. Quem não procura contraexemplo marca a E.

Quem cai nela marca E, B.

somas possíveis (≤ 504 gavetas)050100150200250300350400450500menor soma ≥ 1máx. 504511 subconjuntos
As somas cabem em no máximo 504 valores, mas há 511 subconjuntos não vazios: duas somas coincidem.

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

Entenda por que cada alternativa está certa ou errada, passo a passo — gerado pela IA do Esmer.

Com a conta grátis você vê 5 explicações completas. No Premium, por R$ 29/mês, todas — e ainda o diagnóstico do seu erro.

⚡ Com a conta grátis você responde as questões oficiais e vê o gabarito

🧭 Explicação detalhada ITA

O que a questão pede

Decidir três afirmações que precisam valer para todo conjunto SS de 9 números entre 1 e 60. Para uma afirmação ser verdadeira, precisa de prova geral; para ser falsa, basta um SS que a quebre.

Antes de começar, revise

  • Quantificador “para todo”
  • Número de subconjuntos
  • Princípio das gavetas
  • Paridade

🔒 No Esmer: a sacada que destrava a questão, a resolução com toda a álgebra, a conferência por outro caminho, por que cada alternativa errada atrai e as questões para treinar depois.

Criar conta grátis: 1 explicação detalhada por dia →
Encontrou um problema nesta questão?

📄 Ver esta questão na prova oficial do ITA (PDF, Fase 1)

Questões relacionadas

Mais questões