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Matemática

ITA 2027 Matemática — Questão 8

Seja f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função. Considere as seguintes afirmações:

I. Se f(x)=f(f(x))f(x) = f(f(x)) para todo x∈Rx \in \mathbb{R}, então ff é uma função constante.

II. Se f(f(x))=2x−7f(f(x)) = 2x - 7 para todo x∈Rx \in \mathbb{R}, então ff é uma função bijetora.

III. Se f(x)+2f(−x)=x+1f(x) + 2f(-x) = x + 1 para todo x∈Rx \in \mathbb{R}, então ff é uma função afim.

É (São) VERDADEIRA(S):

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Gabarito oficial do ITA 2027 Matemática, questão 8: alternativa D

Apenas II e III.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você separa o que uma equação funcional obriga do que ela só permite: um contraexemplo derruba a I, injetividade e sobrejetividade saem direto da II, e a troca $x \to -x$ resolve a III.

Por onde começar · passo 1 de 4

Derrube a I com um contraexemplo

Que função não constante satisfaz f(f(x))=f(x)f(f(x)) = f(x)?

A identidade f(x)=xf(x) = x: f(f(x))=x=f(x)f(f(x)) = x = f(x). Também servem projeções como f(x)=∣x∣f(x) = |x| ou f(x)=⌊x⌋f(x) = \lfloor x \rfloor. A condição diz só que ff fixa cada ponto da própria imagem; não obriga a imagem a ter um ponto só. I é falsa.

A armadilha

Na I, a constante satisfaz $f(f(x)) = f(x)$, mas a identidade também — "é solução" não é "é a única solução". Quem confunde marca C ou E. Quem desconfia da II por não saber escrever $f$ explicitamente marca A.

Quem cai nela marca A, C, E.

afirmaçãoargumentoveredito
I: f(f(x)) = f(x) ⇒ constantef(x) = x satisfaz e não é constantefalsa
II: f(f(x)) = 2x − 7 ⇒ bijetoraf(a) = f(b) ⇒ a = b; y = f(f((y+7)/2))verdadeira
III: f(x) + 2f(−x) = x + 1 ⇒ afimsistema com x e −x: f(x) = −x + 1/3verdadeira
Contraexemplo na I, prova direta na II, resolução do sistema na III.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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🧭 Explicação detalhada ITA

O que a questão pede

Julgar três implicações sobre uma função ff desconhecida. O ponto escondido é separar o que a equação obriga do que ela só permite: um exemplo que cumpre a hipótese e quebra a conclusão derruba a afirmação; para confirmar, é preciso provar para toda ff.

Antes de começar, revise

  • Injetora, sobrejetora, bijetora
  • Contraexemplo
  • Troca de variável em equação funcional
  • Função afim

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