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Matemática

ITA 2027 Matemática — Questão 2

De um ponto EE pertencente ao lado ABAB de um quadrado ABCDABCD de lado medindo 1010, é traçada uma reta rr, paralela à diagonal ACAC, que intercepta o lado BCBC no ponto FF. Se a distância entre a reta rr e a diagonal ACAC é 55, então o raio da circunferência C1C_1 inscrita no triângulo BEFBEF é

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Só quero ver o gabarito

Gabarito oficial do ITA 2027 Matemática, questão 2: alternativa D

52(2−2)2\dfrac{5}{2}(2-\sqrt{2})^2.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você enxerga que a reta paralela à diagonal recorta um triângulo retângulo isósceles e usa a fórmula curta do raio inscrito no triângulo retângulo.

Por onde começar · passo 1 de 4

Reconheça a forma do triângulo BEF

Que ângulos tem o triângulo BEFBEF se EFEF é paralela à diagonal ACAC?

O ângulo em BB é reto (canto do quadrado). Como EF∥ACEF \parallel AC e ACAC faz 45∘45^\circ com os lados, BEFBEF é retângulo isósceles: BE=BF=LBE = BF = L.

A armadilha

O erro clássico é achar o cateto e parar num valor "bonito": esquecer o fator $5$ do cateto $5(2-\sqrt2)$ leva a $(2-\sqrt2)^2$ (C) ou $2-\sqrt2$ (B); e $1-\sqrt2$ (E) é negativo, logo nem é um raio.

Quem cai nela marca B, C, E.

ACBEFr5C1ABCDEF
A reta $r$ fica a 5 de $AC$ e corta o canto $B$ num triângulo retângulo isósceles de cateto $10 - 5\sqrt2 \approx 2{,}93$; a circunferência inscrita tem raio $\approx 0{,}86$.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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🧭 Explicação detalhada ITA

O que a questão pede

O raio ρ\rho do círculo inscrito no triângulo BEFBEF, que fica no canto BB do quadrado. O dado escondido: a distância 5 é medida até a diagonal ACAC, não até o vértice BB. É preciso converter essa distância no tamanho do triângulo.

Antes de começar, revise

  • Diagonal do quadrado
  • Distâncias entre paralelas
  • Triângulo retângulo isósceles
  • Raio inscrito no triângulo retângulo

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