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Matemática

ITA 2027 Matemática — Questão 1

Sabe-se que a área de uma elipse é proporcional ao produto das medidas de seus eixos maior e menor. Considere duas elipses, E1E_1 e E2E_2, ambas com os mesmos focos. Sabe-se que a excentricidade de E1E_1 é duas vezes a de E2E_2 e que a área de E2E_2 é seis vezes a de E1E_1. O valor da excentricidade de E1E_1 é

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Só quero ver o gabarito

Gabarito oficial do ITA 2027 Matemática, questão 1: alternativa E

104\dfrac{\sqrt{10}}{4}.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você percebe que "mesmos focos" fixa a distância focal $c$ e transforma tudo — semieixos e área — em função só da excentricidade.

Por onde começar · passo 1 de 4

Traduza "mesmos focos"

O que as duas elipses têm em comum quando compartilham os focos?

Mesmos focos significa mesma semidistância focal cc (e mesmo centro). Como e=c/ae = c/a, o semieixo maior de cada uma é a=c/ea = c/e. Com e1=2e2e_1 = 2e_2, a elipse E2E_2 tem semieixo maior duas vezes o de E1E_1.

A armadilha

Quem esquece que $b$ também muda com $e$ (trata a área como proporcional só a $a^2$) monta uma razão errada; e quem resolve certo mas responde a excentricidade de $E_2$ (a menor, $\sqrt{10}/8$) cai na C.

Quem cai nela marca B, C, D.

E1E2FF'a1 = 1b2 ≈ 1,84b1 ≈ 0,61a2 = 2·a1
Com $a_1 = 1$: os dois focos são comuns ($c \approx 0{,}79$); $E_2$ tem o dobro do eixo maior, mas o eixo menor cresce bem mais que o dobro — é daí que vem o fator 6 na área.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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🧭 Explicação detalhada ITA

O que a questão pede

Achar a excentricidade e1e_1 da elipse E1E_1 a partir de duas razões: a das excentricidades (e1=2e2e_1 = 2e_2) e a das áreas (S2=6S1S_2 = 6S_1). O dado escondido está em "mesmos focos": as duas elipses têm a mesma semidistância focal cc, e é isso que amarra uma à outra.

Antes de começar, revise

  • Excentricidade
  • Relação fundamental da elipse
  • Área da elipse
  • Equação com raiz

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