ITA 2018 — Questão 24

Seja $z = \cos\dfrac{\pi}{7} + i\,\mathrm{sen}\dfrac{\pi}{7}$. Pedem-se:

a) Use a propriedade $z^k = \cos\dfrac{k\pi}{7} + i\,\mathrm{sen}\dfrac{k\pi}{7}$, $k \in \mathbb{N}$, para expressar $\cos\dfrac{\pi}{7}$, $\cos\dfrac{3\pi}{7}$ e $\cos\dfrac{5\pi}{7}$ em função de $z$.

b) Determine inteiros $a$ e $b$ tais que $\dfrac{a}{b} = \cos\dfrac{\pi}{7} + \cos\dfrac{3\pi}{7} + \cos\dfrac{5\pi}{7}$.