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Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 12

Se det⁡[abcpqrxyz]=−1\det \begin{bmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{bmatrix} = -1, então o valor do det⁡[−2a−2b−2c2p+x2q+y2r+z3x3y3z]\det \begin{bmatrix} -2a & -2b & -2c \\ 2p + x & 2q + y & 2r + z \\ 3x & 3y & 3z \end{bmatrix} é igual a

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Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 12: alternativa D

1212

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você separa as operações de linha que mudam o determinante (multiplicar por escalar) das que não mudam (somar múltiplo de outra linha).

Por onde começar · passo 1 de 4

Fatore os escalares das linhas 1 e 3

Que número sai de cada linha que é múltipla de uma linha da matriz original?

Determinante é linear em cada linha: a linha 1 é −2 (a,b,c)-2\,(a,b,c) e a linha 3 é 3 (x,y,z)3\,(x,y,z). Saem os fatores −2-2 e 33.

A armadilha

A linha 2p + x, 2q + y, 2r + z engana de dois jeitos: quem acha que ela "depende" da linha 3 marca 0; quem esquece algum dos fatores −2, 2 ou 3 cai em 4 ou 8.

Quem cai nela marca A, B, C, E.

Linha da nova matrizOperaçãoEfeito no det
(−2a, −2b, −2c)fatorar −2× (−2)
(3x, 3y, 3z)fatorar 3× 3
(2p+x, 2q+y, 2r+z)L₂ − L₃ (Jacobi)× 1
(2p, 2q, 2r)fatorar 2× 2
ordem a / p / xsem troca× 1
Total(−2)·3·2·(−1)12
Cada operação de linha e o que ela faz com o determinante; só os escalares contam.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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