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Matemática

ITA 2027 Matemática — Questão 6

Sejam m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}, z=(34+34i)mz = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)^m e w=(−22+62i)nw = \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{6}}{2}i\right)^n. Sabendo que ∣z∣=81256|z| = \dfrac{81}{256} e ∣w∣=16|w| = 16, então um argumento de zwzw é igual a

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Gabarito oficial do ITA 2027 Matemática, questão 6: alternativa C

2π3\dfrac{2\pi}{3}.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você usa o módulo para descobrir os expoentes escondidos $m$ e $n$ e só depois soma argumentos (De Moivre), reduzindo módulo $2\pi$.

Por onde começar · passo 1 de 4

Ponha a base de z na forma polar

Qual o módulo e o argumento de 34+34i\frac34 + \frac{\sqrt3}{4}i?

Módulo: 916+316=1216=32\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{3}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \frac{\sqrt3}{2}. Argumento: cos⁡θ=3/43/2=32\cos\theta = \frac{3/4}{\sqrt3/2} = \frac{\sqrt3}{2} e sin⁡θ=3/43/2=12\sin\theta = \frac{\sqrt3/4}{\sqrt3/2} = \frac12, logo θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}.

A armadilha

Quem soma só os argumentos das bases ($\pi/6 + 2\pi/3 = 5\pi/6$) não acha alternativa; quem acha $m$ e $n$ mas usa só um dos fatores ou reduz mal o ângulo cai em $4\pi/3$ (E), $\pi/3$ (B) ou $7\pi/6$ (D).

Quem cai nela marca B, D, E.

módulo da basearg da baseexpoentemódulo finalarg final (mod 2π)
z√3/2π/6m = 881/2564π/3
w√22π/3n = 81616π/3 ≡ 4π/3
zw81/168π/3 ≡ 2π/3
O módulo dado revela o expoente; o expoente multiplica o argumento; no produto os argumentos somam.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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🧭 Explicação detalhada ITA

O que a questão pede

Um argumento de zwzw. Os expoentes mm e nn não foram dados: estão escondidos nos módulos ∣z∣=81256|z| = \frac{81}{256} e ∣w∣=16|w| = 16. A questão é, na verdade, duas: achar mm e nn pelo módulo e depois somar argumentos (De Moivre), reduzindo no fim a um ângulo entre 00 e 2π2\pi.

Antes de começar, revise

  • Forma trigonométrica
  • De Moivre
  • Produto
  • Ângulos côngruos

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