ITA 2025 (2ª fase) — Questão 6

Uma sonda tripulada foi projetada para resistir ao calor da atmosfera de mercúrio, que pode atingir uma temperatura $T_0 = 430\ ^\circ\mathrm{C}$. A sonda tem uma estrutura semelhante à de uma casca esférica composta por duas camadas, como mostra a figura. A camada externa, de espessura $d_1$, é composta por um material rígido de condutividade térmica $K_1$. A camada interna, de espessura $d_2$, é composta por um material termorresistente e isolante térmico de condutividade térmica $K_2$. O raio externo da estrutura é igual a R.

Considerando a situação descrita acima, faça o que se pede nos itens a seguir.

a) Expresse a condutividade térmica efetiva da sonda em função de $R$, $K_1$, $K_2$ e $d$, em que $d = d_1 = d_2$ e $R \gg d$.

b) Estime a potência, em kW, que um refrigerador deve ter para manter a temperatura interna da sonda em $T_i = 23\ ^\circ\mathrm{C}$, assumindo que $R = 20$ m, $d_1 = d_2 = 30$ cm, $K_1 = 50$ W/(m °C), $K_2 = 0{,}020$ W/(m °C) e que a máquina refrigeradora tem um coeficiente de performance ideal.