ITA 2022 — Questão 51

Dizemos que a representação binária de um número $N \in \mathbb{N}$ da forma $N = g \cdot 2^0 + f \cdot 2^1 + e \cdot 2^2 + d \cdot 2^3 + c \cdot 2^4 + b \cdot 2^5 + a \cdot 2^6$ é $(\text{abcdefg})_2$, onde $a, b, c, d, e, f, g \in \{0, 1\}$ e omitem-se os algarismos 0 até o primeiro algarismo 1 da esquerda para a direita. Seja $k$ um número inteiro tal que $1 \leq k \leq 100$. Qual a probabilidade de $k$ e $k + 1$ terem representações binárias com um número distinto de algarismos?