ITA 2019 (2ª fase) — Questão 2

Na figura, um braço articulado de massa desprezível e de comprimento $l$ tem sua extremidade fixada a uma corda homogênea de massa $m$, que o mantém sempre na horizontal. Nessa mesma extremidade é fixado um fio inextensível, também de massa desprezível, que sustenta um objeto de massa $M$. Esse dispositivo permite a medida de frequências sonoras pela observação da ressonância entre o som e a corda oscilando em seu modo fundamental.

a) Determine a frequência medida pelo dispositivo em função das massas $m$ e $M$, do comprimento $l$, da aceleração da gravidade $g$ e do ângulo $\theta$ entre a corda e o braço.

b) Considere esse dispositivo instalado na única boca de um túnel inacabado em cujo interior são geradas ondas sonoras. Determine o comprimento $L$ do túnel, sabendo-se que dois modos consecutivos de vibração do ar são medidos, respectivamente, pela substituição de $M$ pelas massas $M_1$ e $M_2$, com $M_2 > M_1$. A resposta deve ser explicitada em função de $m$, $l$, $\theta$, $g$, $M_1$, $M_2$ e da velocidade do som no ar $v_\mathrm{s}$.