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Matemática

ITA 2027 Matemática — Questão 12

Considere um polinômio dado por p(x)=x4+ax3+bx2+cx−21p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 21, em que aa, bb e cc são números reais. Sabe-se que p(x)p(x) possui quatro raízes inteiras e que, para todo inteiro nn que não seja múltiplo de 55, o valor de p(n)p(n) é múltiplo de 55. Determine o valor de a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2.

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Gabarito oficial do ITA 2027 Matemática, questão 12: alternativa B

600600.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você traduz "p(n) múltiplo de 5 para todo n não múltiplo de 5" em p(x) ≡ x⁴ − 1 (mod 5), via Pequeno Teorema de Fermat.

Por onde começar · passo 1 de 5

Traduza a condição para mod 5

Quais restos módulo 5 têm de ser raízes de p reduzido mod 5?

p(n) ≡ 0 (mod 5) para n≡1,2,3,4n \equiv 1, 2, 3, 4. Como pp tem raízes inteiras r1,…,r4r_1,\dots,r_4, p(x)=∏(x−ri)p(x) = \prod (x - r_i) com coeficientes inteiros, e reduzindo mod 5 temos um polinômio mônico de grau 4 sobre Z5\mathbb{Z}_5 com as raízes 1, 2, 3, 4. Num corpo, isso força pˉ(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)=x4−1\bar p(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^4 - 1 (Fermat: n4≡1n^4 \equiv 1).

A armadilha

Quem só usa o produto das raízes (−21) acha várias quádruplas possíveis e chuta. A condição mod 5 é o filtro: as raízes precisam deixar restos 1, 2, 3 e 4, um de cada.

Quem cai nela marca A, C, D.

Quádrupla (produto −21)Restos mod 5Distintos?a² + b² + c²
{1, −1, 3, 7}1, 4, 3, 2sim600
{1, −1, −3, −7}1, 4, 2, 3sim600
{1, 1, −3, 7}1, 1, 2, 2não1624
{1, −1, −1, −21}1, 4, 4, 4não1368
{1, 1, −7, 3}1, 1, 3, 3não2904
Entre as quádruplas de produto −21, só as que deixam restos 1, 2, 3, 4 sobrevivem, e ambas dão 600; as outras geram os distratores 1368 e 1624.

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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🧭 Explicação detalhada ITA

O que a questão pede

O valor de a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2, isto é, descobrir pp. O que está escondido: “p(n)p(n) é múltiplo de 5 sempre que nn não é múltiplo de 5” diz quais restos módulo 5 as raízes deixam, e isso, junto com o produto das raízes (−21-21), deixa só uma escolha (a menos de sinais).

Antes de começar, revise

  • Polinômio pelas raízes
  • Congruência módulo 5
  • Primo e produto
  • Restos de $\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

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