ITA 2011 — Questão 7

Considere as afirmações abaixo:

$I -$ Se $M$ é uma matriz quadrada de ordem $n > 1$, não-nula e não-inversível, então existe matriz não-nula $N$, de mesma ordem, tal que $MN$ é matriz nula.

$II -$ Se $M$ é uma matriz quadrada inversível de ordem $n$ tal que $\det(M^2 - M) = 0$, então existe matriz não-nula $X$, de ordem $n \times 1$, tal que $MX = X$.

$III -$ A matriz $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \frac{\tan\theta}{\sec\theta} & 1 - 2\sin^2\frac{\theta}{2} \end{bmatrix}$ é inversível, $\forall\theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Destas, é(são) verdadeira(s)